Definícia a konštrukcia
Pravidelný šesťuholník je rovinná postava, ktorá má šesť strán rovnakej dĺžky a rovnakých uhlov.
Ak spomenieme vzorec pre súčet uhlov mnohouholníka
180 ° (n-2),
Ukazuje sa, že na tomto obrázku sa rovná 720 °. Pretože všetky uhly postavy sú rovnaké, je ľahké vypočítať, že každá z nich je rovná 120 °.
Nakresliť šesťuholník je veľmi jednoduché, pretože to je dosť kompasov a pravítka.
Postupné pokyny budú vyzerať takto:
nakreslí sa priamka a na ňu sa umiestni bodka;- z tohto bodu je vytvorený kruh (je to jeho stred);
- ďalšie dve z nich sú postavené z priesečníka kruhu s čiarou, musia sa zbiehať v strede.
- potom sú všetky body na prvom kruhu spojené v sériách podľa segmentov.
Ak si želáte, môžete bez čiary urobiť päť rovnakých kruhov pozdĺž polomeru.
Takto získaná číslica bude pravidelným šesťuholníkom, čo sa dá dokázať nižšie.
Vlastnosti sú jednoduché a zaujímavé.
Na pochopenie vlastností pravidelného šesťuholníka je zmysluplné ho rozdeliť do šiestich trojuholníkov:
To pomôže ďalej vizualizovať jeho vlastnosti, z ktorých hlavnými sú:
- priemer ohraničenej kružnice;
- priemer vpísanej kružnice;
- area;
- obvod.
Ohraničený kruh a možnosť výstavby
Môžete opísať kruh okolo šesťuholníka a navyše len jeden. Keďže toto číslo je správne, dá sa to urobiť celkom jednoducho: z dvoch susedných rohov držte vo vnútri osi. Pretínajú sa v bode O a tvoria trojuholník spolu so stranou medzi nimi.
Uhly medzi šesťhrannou stranou a osami budú 60 °, takže určite môžete povedať, že trojuholník, napríklad AOB, je rovnoramenný. A keďže tretí uhol bude rovný 60 °, je tiež rovnostranný. Z toho vyplýva, že segmenty OA a OB sú rovnaké, čo znamená, že môžu slúžiť ako polomer kruhu.
Potom môžete prejsť na ďalšiu stranu az rohu v bode C tiež nakresliť bod. Dostanete ďalší rovnostranný trojuholník a strana AB bude spoločná pre dva naraz a OS bude ďalším polomerom, cez ktorý prechádza rovnaký kruh. Celkom bude šesť takýchto trojuholníkov a budú mať spoločný vrchol v bode O. Ukazuje sa, že bude možné opísať kruh a je len jeden a jeho polomer sa rovná strane šesťuholníka:
R = a .
Preto je možné postaviť túto postavu pomocou kompasu a pravítka.
Oblasť tohto kruhu bude štandardná:
S = πR²
Vyplnený kruh
Stred ohraničenej kružnice sa bude zhodovať so stredom vpísaného. Na overenie tohto stavu je možné nakresliť kolmice z bodu O do strán šesťuholníka. Budú výškami trojuholníkov, ktoré tvoria šesťuholník. V rovnoramennom trojuholníku je výška mediánom strany, na ktorej spočíva. Táto výška teda nie je ničím iným, ako je stredná kolmica, ktorá je polomerom vpísaného kruhu.
Výška rovnostranného trojuholníka sa jednoducho vypočíta:
h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a (√3) / 2
A keďže R = a r = h, ukazuje sa, že
r = R (= 3) / 2 .
Takto vpísaná kružnica prechádza stredom strán pravidelného šesťuholníka.
Jeho plocha bude:
S = 3πa² / 4,
to znamená tri štvrtiny opísaného.
Obvod a oblasť
Z obvodu je všetko jasné, to je súčet dĺžok strán
P = 6a, alebo P = 6R
Plocha sa však bude rovnať súčtu všetkých šiestich trojuholníkov, do ktorých sa môže šesťuholník rozdeliť. Vzhľadom k tomu, že plocha trojuholníka sa vypočíta ako polovica produktu základne výškou, potom:
S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a² (√3) / 4 = 3a² (√3) / 2 alebo
S = 3R² (√3) / 2
Tí, ktorí chcú vypočítať túto oblasť cez polomer vpísanej kružnice, možno urobiť takto:
S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)
Zábavná stavba
Trojuholník môže byť vložený do hexu, ktorého strany spoja vrcholy cez jednu:
Celkovo budú dvaja z nich, a ich uloženie na seba dá Dávidovu hviezdu. Každý z týchto trojuholníkov je rovnostranný. Nie je to ťažké overiť. Ak sa pozriete na stranu AU, potom patrí k dvom trojuholníkom naraz - YOU a AES. Ak je v prvom z nich AB = BC a uhol medzi nimi je 120 °, potom každý zvyšok bude 30 °. Odtiaľ môžete urobiť logické závery:
- Výška ABC od vrcholu B sa bude rovnať polovici strany šesťuholníka, pretože sin30 ° = 1/2. Tí, ktorí si želajú byť presvedčení o tejto veci, môžu byť poučení, aby sa prepočítali podľa Pythagorovej teorémy, ktorá tu dokonale zapadá.
- Strana AC sa bude rovnať dvom polomerom vpísanej kružnice, ktorá sa opäť vypočíta rovnakou vetou. To znamená, že AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
- Trojuholníky ABC, ETS a AEF sú na oboch stranách rovnaké a uhol medzi nimi, čo znamená rovnosť strán AC, CE a EA.
Trojuholníky, ktoré sa navzájom pretínajú, tvoria nový hex a je tiež správne. Dokáže sa jednoducho:
Uhol ABF sa rovná uhlu YOU. Výsledný trojuholník so základňou AB a bezmenným vrcholom naproti tomu je rovnoramenný.- Všetky rovnaké trojuholníky, ktorých základňa je stranou šesťuholníka, sú rovnaké na strane a na rohoch, ktoré s ňou susedia.
- Trojuholníky na vrcholoch šesťuholníka sú rovnostranné a rovnaké, čo vyplýva z predchádzajúceho odseku.
- Rohy novo vytvoreného šesťuholníka sú 360-120-60-60 = 120 °.
Obrázok teda spĺňa vlastnosti pravidelného šesťuholníka - má šesť rovnakých strán a uhlov. Z rovnosti trojuholníkov na vrcholoch je ľahké odvodiť dĺžku strany nového šesťuholníka:
d = a (√3) / 3
Bude to polomer obvodu opísaný okolo neho. Polomer napísaný bude polovica veľkosti strany veľkého šesťuholníka, čo sa ukázalo pri posudzovaní trojuholníka ABC. Jeho výška je len polovica strany, preto druhá polovica je polomer kruhu vpísaného do malého šesťuholníka:
r₂ = a / 2
Oblasť nového šesťuholníka možno vypočítať takto:
S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2
Ukazuje sa, že plocha šesťuholníka vnútri Dávidovej hviezdy je trikrát menšia ako plocha veľkého, v ktorom je hviezda napísaná.
Od teórie k praxi
Vlastnosti šesťuholníka sú veľmi aktívne používané v prírode aj v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. V prvom rade ide o skrutky a matice - uzávery prvej a druhej z nich nie sú ničím iným ako bežným šesťhranom, ak neberiete do úvahy skosenie. Veľkosť kľúčov zodpovedá priemeru vepsanej kružnice - teda vzdialenosti medzi protiľahlými plochami.
Hexagonálne dlaždice tiež našiel svoje použitie. Je to oveľa menej rozšírené ako štvoruholníkové, ale je vhodnejšie ho položiť: na jednom mieste sa stretnú tri dlaždice, nie štyri. Skladby môžu byť veľmi zaujímavé:
K dispozícii sú aj betónové dlažby.
Výskyt šesťuholníkov v prírode je jednoducho vysvetlený. Tak, najjednoduchší spôsob, ako pevne zapadnúť kruhy a gule v rovine, ak majú rovnaký priemer. Z tohto dôvodu majú voštiny takú formu.